TERCERA PARTE
La educación activa en la escuela actual

3.4 - Las Matemáticas

En todo tiempo la enseñanza de las Matemáticas ha hecho uso de los problemas como medio de iniciación práctica. Los didácticos han visto en el problema de cálculo la manera de hacer comprensibles los principios matemáticos y los practicistas han encontrado en él los medios para preparar las actividades postescolares en que se han de utilizar aquellos principios. El problema es algo muy esencial y característico de la escuela activa; pero ha de reunir ciertas condiciones de que carece muy a menudo en los ejercicios aritméticos o geométricos de la escuela corriente. Ha de ser sentido por los alumnos, esto es, ha de obedecer a una necesidad que el niño sienta por llegar a obtener el resultado; o bien ha de constituir un ejercicio agradable en el que el individuo se proponga medir su capacidad o comparar sus fuerzas con otro (juego, lucha).

Es corriente hacer preceder la explicación teórica, la exposición de principios y reglas de cálculo a la presentación de los problemas. Así, el problema viene a ser la aplicación de lo abstracto en lo concreto, la adaptación de lo informe e insensible a las formas sensibles de las cosas y de los hechos. Esto es lo que no se puede admitir en educación activa. Esta no puede someter a los niños a un disciplinamiento teórico mientras no les haya puesto delante una cuestión práctica que se tenga que resolver con aquellos principios y reglas teóricas; no puede remontar a elaboraciones abstractas sin antes haber vivido en problemas concretos, de interesante resolución, los elementos básicos en que se tienen que fundar las abstracciones.

La escuela que quiera entrar en el campo de las fecundas realizaciones de la escuela activa no puede presentar los problemas de cálculo como un complemento separado de las lecciones de matemáticas, como un ensayo práctico de la materia de enseñanza teórica, sino que han de constituir el centro y el móvil de todos los ejercicios teóricos y prácticos a que pueda dar lugar el programa de matemáticas. Y no ha de contentarse con problemas artificiosos, con cuestiones nimias, incapaces de despertar un interés verdaderamente intenso; lo que se necesita es invitación a un desarrollo grande de actividad, llamada de potencias y energías individuales.

No es necesario que todos los problemas encarnen cuestiones sacadas de la vida real, ni que representen un ensayo fiel de lo que habrá de hacerse más tarde en la edad adulta, en los cálculos que traen consigo las ocupaciones profesionales o generales. Pueden entrar muy bien cuestiones ficticias, problemas que hablen a la fantasía y se alimenten de la imaginación; lo esencial es que impulsen a los alumnos al trabajo de planteamiento y a la acción toda que conduce a la solución.

Desde las primeras nociones del número y de la medida, desde las primeras operaciones de cálculo, el niño ha de verse continuamente llamado hacia la solución de sencillos problemas, que le atraigan por placer de pasatiempo o por interés de conseguir algo determinado que desea. Las colecciones de bolas, de cromos, de cartones, de piedrecitas, etc., a que tan aficionado es el niño en la primera edad escolar presenta numerosas ocasiones de entretenimiento matemático y de iniciación a los problemas de cálculo. Aprovechados debidamente por el educador, mediante la organización de problemas graduados y sistematizados, estos ejercicios sustituyen con gran ventaja aquellas lecciones fatigosas en que se pretendían dar las primeras nociones aritméticas de una manera esquemática y se inculcaban errores e imprecisiones hijas de la falta de comprensibilidad de los niños frente a las palabras y a las cosas abstractas. El niño que, por ejemplo, coloca números determinados de bolas en los compartimientos de un cajón, hace las combinaciones necesarias para repartir unos cartones en un número de montones diferentes, colecciona una serie de cromos por el número de orden y se entretiene en un sinfín de actividades de ordenación, clasificación y combinación de número y de medida, dará muy fácilmente y con mucha seguridad los primeros pasos en la ciencia del número, y casi se puede decir que por sí mismo llegará a descubrir el sistema de numeración y las operaciones fundamentales.

En la relación directa con los números vivos es como el niño puede fundamentar debidamente su formación y sus ideas. Y, si la vida y el contacto con las cosas concretas está animado de objetivos interesantes; si el ejercicio constituye una diversión (juego) o bien significa un medio de alcanzar una finalidad deseada, se consigue el desiderátum de la escuela activa.

Al tratarse de construir, por ejemplo, una jaula para criar un animal, o una caja para conservar un objeto determinado, son necesarias toda una serie de operaciones de cálculo. El maestro ha de buscar muchas de estas construcciones, aunque tengan finalidades de contenido puramente imaginario y fantástico, para que se presenten ocasiones de resolver verdaderos problemas de cálculo. No hay ningún inconveniente en calcular, por ejemplo, el número de kilómetros por hora que podía andar el gigante que se ponía las botas de siete leguas; aunque, desde luego, no hay que abusar de estos recursos. Las cosas reales y las verosímiles pueden ofrecer problemas muy interesantes. Los niños pueden muy bien llevar la contabilidad de la escuela y la de las asociaciones o agrupaciones de alumnos que se pueden constituir para diversos fines, como la ayuda mutua (mutualidades escolares), excursiones, deportes, organización de representaciones teatrales y fiestas, etc.

Entiéndase bien que con estos procedimientos no queda enteramente suprimida la clase, la lección. La clase y la lección subsisten; pero cambian de forma y adquieren un nuevo elemento interno. En vez de constituir un paso en una sucesión muerta, son un acoplamiento de atención y de energías ante un problema o un trabajo que se presenta en una seriación de intereses, con dificultades crecientes, pero contándose también con medios cada vez mayores para vencerlas. La lección, la clase, es una preparación para resolver problemas concretos; es una aportación de experiencias anteriores y de elementos teóricos con vistas a la satisfacción de una necesidad de cálculo. La labor preliminar de toda lección aritmética es la presentación de un problema interesante que hay que resolver. De los términos del problema y de su planteamiento se deducen los elementos que hacen falta para llegar a la solución; la busca de estos elementos, su debido estudio y comprensión, su manejo y utilización adecuada a los fines del problema constituyen la lección.

Se trata, por ejemplo, de enseñar el sistema métrico decimal. La escuela tradicional empieza haciendo la definición y la descripción del metro, de su origen, etc. Nada de eso; lo primero que hace falta es una situación en que los alumnos sientan la necesidad de saber lo que es el metro, porque tengan que utilizarlo para un objeto que les interesa. Este objeto será la medida de la clase, del patio, de la calle; o bien la preparación de la construcción de un muro, de una choza, de una terraza, para todo lo cual hacen falta medidas y proyectos. Una vez despertada la necesidad de conocer un medio de medida, se puede recurrir a los procedimientos primitivos de medición (palmos, codos, brazas, pies, etc.), experimentando palpablemente sus defectos y la inconveniencia de la falta de uniformidad a que han dado lugar entre los diversos países. Entonces, después de haber sentido la necesidad de medir y de haber reconocido que el medio de medida tiene que ser un patrón fijo, se puede entrar en el estudio de este medio.

Asi se tendrá una introducción a la enseñanza del sistema métrico; pero no termina aqui el trabajo de busca de motivos de actividad. Cada nuevo paso adelante necesita su problema interesante para cuya solución hace falta un acoplamiento de experiencias y de conocimientos anteriores. El estudio de las medidas de superficie, de volumen, de peso, etc., ha de ir precedido de las correspondientes cuestiones prácticas, en las que se incite al niño a la prestación firme de su atención espontánea. Una construcción en el jardín o en la clase, una distribución entre los alumnos, una compra a un comerciante, en fin, un objetivo cualquiera que haga necesario el conocimiento de los puntos que se han de tratar, es siempre indispensable.

No hay que decir que la iniciación a la Aritmética y a la Geometría han de tener muchos puntos de contacto. Los trabajos concretos, las construcciones, las medidas, presentarán cuestiones de uno y otro orden, y es fuerza que la enseñanza no rompa la trabazón natural de las cosas, al separar lo que corresponde a la Aritmética, de lo que corresponde a la Geometría. Los problemas complejos se tratarán como complejos, y para su solución se buscarán todos los elementos de preparación que sean necesarios. Lo mismo si se exige a la vez el estudio de Puntos de Geometría y de Aritmética, como si hace falta la intervención auxiliar de otras Ciencias, no hay que detenerse ni limitarse; el único límite ha de marcarlo la capacidad de comprensión y de realización de los alumnos y la demarcación señalada a los planes de enseñanza o a los programas de formación de la escuela.

Sin embargo, se puede organizar muy bien una serie de ejercicios de predominio aritmético y otra de predominio geométrico. A la primera nos hemos referido antes de un modo especial. En cuanto a la parte geométrica, hay que reconocer que se presentan todavía más facilidades para encontrar finalidades concretas que hagan sentir la necesidad de un esfuerzo dirigido al conocimiento de aquello que se quiere enseñar. El trabajo manual, la construcción, la ornamentación, proporcionarán siempre motivos a los cuales referir las más variadas cuestiones geométricas. Desde el momento en que se haga sentir la necesidad de un trabajo manual determinado, de una construcción, etc., todos los puntos de Geometría que puedan dar facilidades para su realización despertarán la atención debida, y pondrán en juego los recursos individuales para la comprensión, la retención, la capacidad de aplicación en las obras a realizar.

Una vez fuí llamado por un grupo de muchachas que se habían encargado del arreglo de un pedazo de jardín de la escuela. Se había convenido en poner una hilera de losas, levantando un poco el terreno que debía tener flores, a lo largo de un edificio contiguo, perteneciente a la escuela. Ya se había puesto manos a la obra, cuando algunas de las alumnas viendo que no hacían nada bueno y que todo les salía torcido, vinieron a reclamar mi intervención. Yo, que no era su profesor de Geometría, pero que estaba interesado en que su formación fuera completa, tuve que dar, en medio del mayor interés, una lección de Geometría y de ciencia general que duró buena parte de la tarde. El fracaso de aquella obra empezada sin método, sin aprovechar los recursos que ofrecía la Ciencia (sobre todo la Geometría), era evidente. Era preciso buscar estos recursos, y, una vez en posesión de ellos, podía uno ponerse a la obra. Todas las alumnas pusieron su empeño en hacer que aquel pedazo de jardin que era suyo (del grupo) resultase arreglado debidamente.
Se tomaron medidas: longitudes, anchuras, alturas, ángulos; se trazaron croquis, se hizo una plomada, se dispuso un nivel; se trazó la colocación de las losas, se buscaron las horizontales para los bordes. Todo esto estaba fundado en principios geométricos, algunos de los cuales eran ignorados por las alumnas. Todos fueron comprendidos y aplicados en el acto. El grupo realizó su trabajo a la perfección. Incluso recibió palabras de admiración y de felicitación. En el tiempo que permanecieron aquellas alumnas en la escuela vieron siempre arreglado aquel pedazo de jardin, y las enseñanzas que en este arreglo recibieron sirvieron para que otros trozos de jardín adquirieran nuevos contornos y disposición bella, y para que las alumnas tengan en toda su vida una experiencia y unos sólidos conocimientos que aplicarán en su actividad general.

Los principios geométricos fundamentales, los teoremas elementales han de descubrirse ante la necesidad de aplicarlos en una realización proyectada. Ese encadenamiento lógico riguroso con que se presentan a los niños las nociones de Geometría, ha de tener cierta parte de la flexibilidad que da a las cosas científicas la presentación de los fenómenos naturales y la reaccionabilidad que ante éstos presentan los individuos. No importa que un problema interesante que se suscite en un momento dado de un trabajo haga llamada a una cuestión de Geometría que no están en condiciones de resolver en aquel momento los alumnos, porque todavía no han llegado a tal lección. Si el problema interesa verdaderamente, sostendrá con suficiencia la atención de los niños en todo el curso de la preparación de los medios conducentes a la resolución, y permitirá que se busquen los antecedentes y se colmen todas las lagunas que pudieran existir en el estado de conocimientos geométricos de los alumnos.

Lo esencial es que se esté siempre bajo la presión de la necesidad de aprender aquello para utilizarlo en el objeto deseado. El orden lógico artificioso del desenvolvimiento de la enseñanza de la Geometría cederá sitio a otro orden, más lógico, que se desprenderá de los hechos -aunque los dos concurran al mismo encadenamiento científico-, y la prestación de las energías infantiles se hará con toda naturalidad, proyectada hacia cosas concretas.

Se trata, por ejemplo del parcelamiento de un trozo de terreno que han de cultivar los niños, o de una distribución de muebles en una sala de clase, con vistas a un buen aprovechamiento de sitio. Problemas complejos, que muy posiblemente presentarán dificultades particulares que, por falta de preparación, los niños no pueden solventar de momento por sus propios recursos. No hay más remedio que buscar estos puntos débiles, hacer las experiencias preparatorias necesarias y tener ocasión de conocer todo lo que hace falta para las soluciones pedidas. El encadenamiento de las necesidades de la actividad concreta establece una seriación lógica natural de la materia de enseñanza, distinta, quizá, de la seriación lógica esquematizada y artificiosa de los resúmenes y bosquejos que circulan con profusión en muchas escuelas, y que suelen informar los programas de enseñanza. No importa: sigamos el orden de las necesidades naturales en su presentación espontánea frente a los objetivos interesantes, y seguiremos la seriación que pide la lógica del educando.